M?gliche Themengebiete für Bachelor, Master, Diplom oder ggfs. Promotion liegen in den Bereichen Differentialgleichungen (partiell oder gew?hnlich), Stochastische Dynamik / stochastische Differentialgleichungen, für eine Bachelorarbeit auch im Bereich Numerik, Funktionentheorie oder Funktionalanalysis

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M?gliche Themengebiete

• Stochastische Dynamik (Austrittsprobleme, grosse Abweichungen)
• Stochastische Differentialgleichungen
• Qualitatives Verhalten von Differentialgleichungen
• Verzweigungsprozesse und Differentialgleichungen
• Numerik stochastischer Differentialgleichungen
• Simulation stochastischer Dynamik (in Oktave oder Matlab)
• Attraktoren (zuf?llig oder deterministisch)
• Finanzmathematik (Optionspreisbewertung)

Bei Interesse bitte einfach vorbeikommen, oder eine Email schreiben.

Da eine Abschlussarbeit zumeist auf Vorlesungen, numerischem Praktikum, einem Seminar oder einem Spezialisierungsmodul aufbaut, k?nnen Sie auch gerne schon nach Abschluss der Grundvorlesungen nach einem m?glichen Studienplan für eine Arbeit fragen.

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Frühere Arbeiten?

Bachelor

• Charakterisierung von Chaos
  Dynamisches Verhalten iterierter Abbildungen
  Literaturvorlage: Aulbach, Vorlesungsskript
• Der Satz von Poincare-Bendixon
  Ein ebenes dynamisches System hat nur Fixpunkte und periodische Orbits als Langzeitverhalten
• Invariante Mannigfaltigkeiten bei gew?hnlichen Differentialgleichungen
  Literaturvorlage: Perko, "Differential equations and dynamical systems"
• Dynamik von R?uber-Beute Modellen
  über das Dynamische Verhalten von gew?hnlichen Differentialgleichungen
  Literaturvorlage: Murray, "Mathematical Biology"
• Levy-Ciesielski-Konstruktion der Bronwschen Bewegung
  Literaturvorlage: Evans, "Stochastic differential equations"

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Zulassungsarbeiten
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Die Kontinuumshypothese
Abgabe: April 2012
Literaturvorlage: Aigner, Ziegler, "Das Buch der Beweise"
Zusammenfassung:
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Blow-up komplexwertiger L?sungen eines Ober??chenwachstumsmodells
Abgabe: 1.10.2010
Zusammenfassung: Diese Zulassungsarbeit untersucht mit numerischen und analytischen Methoden ein unendliches System gekoppelter Differentialgleichungen, das aus partiellen Differentialgleichungen eines Oberfl?chenwachstumsmodells entsteht, wenn man im Fourier-Raum gewisse Klassen komplexwertiger L?sungen untersucht. Zum einen werden allgemeine Existenzaussagen von L?sungen diskutiert, die im Wesentlichen auf dem Banachschen Fixpunktsatz in geeigneten Sobolev-R?umen beruhen. Zum anderen werden Resultate zur globalen Existenz und zum Blow-up von L?sungen diskutiert. Weiterhin werden experimentell mehrfach Blow-up und der Zeitpunkt des Blow-up untersucht.

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Master
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Stochastische Kriterien für zuf?llige Attraktoren
Abgabe: 10.11.2011
Literaturvorlage: Crauel, Dimitroff, Scheutzow, "Criteria for strong and weak random attractors." J. Dynam. Differential Equations 21 (2009), no. 2, 233--247.
Zusammenfassung: Diese Diplomarbeit behandelt verschiedene Konzepte für Attraktoren für zuf?llige dynamische Systeme und probabilistische Kriterien für deren Existenz. Inhaltlich werden zun?chst die Grundlagen der zuf?lligen dynamischen Systeme und ihrer Attraktoren bereit gestellt. Der Hauptteil diskutiert dann vier probabilistische Charakterisierungen von zuf?lligen Attraktoren. Hierbei wird zwischen starken und schwachen Attraktoren und zwischen Attraktion von beschr?nkten oder kompakten Mengen unterschieden, und die jeweiligen Kriterien verglichen. Das Besondere an den Resultaten ist hierbei, dass die Kriterien nicht, wie normalerweise üblich, pfadweise Analoga von deterministischen Argumenten sind, sondern stochastische Methoden benutzt werden. Am Beispiel stochastischer Differentialgleichungen wird demonstriert, wie diese stochastischen Kriterien angewendet werden k?nnen. Hierbei werden ein kleines Beispiel zur Nichtexistenz als auch ein l?ngeres Beispiel zur Existenz diskutiert.

Risikoallokation in Versicherungsunternehmen
Abgabe: Okt. 2011
Zusammenfassung: Es werden verschiedene Ans?tze für die Aggregation und Allokation von Risikokapital untersucht. Dies ist eine bedeutende Fragestellung für Versicherungen im Rahmen der voraussichtlich 2013 in Kraft tretenden EU-Richtlinie Solvency II. Die Arbeit stellt Grundkonzepte der Risikobewertung dar, wobei Begriffe wie Allokation, Aggregation, Risikoma? und Koh?renz im Detail diskutiert werden. Zentrale Beispiele sind der Value-at-Risk und der Tail-Value-at-Risk. Weiterhin wird der Shapley-Wert aus der Spieltheorie definiert. Diskutiert wird auch der rechtlichen Rahmen und die Grundlagen von Solvency II, in deren Rahmen Versicherungskonzerne eigene Risikobewertungsstandards entwickeln k?nnen. Ein auf dem Shapley-Wert basierende Kapitalallokationsmethode wird dann im Rahmen einer Modellklasse numerisch studiert, wobei das Softwarepaket ''RiskAnalytics'' der Gruppe ''PillarOne'' und die Statistiksoftware R verwendet wird. Anhand von vielf?ltigen Auswertungen wird die Qualit?t der vorgestellten Risikoma?e untersucht und ihre praktischen Auswirkungen diskutiert.

Modellierung des Ausübungsverhaltens von Kundenoptionen zur vorzeitigen Rückzahlung von amerikanischen Hypothekendarlehen,
Abgabe: 27.07.11
Zusammenfassung: Diese Diplomarbeit untersucht verschiedene in der Literatur diskutierte Modellierungs- und Bewertungsans?tze für das Ausübungsverhalten von Kündigungsoptionen bei Hypothekendarlehen. Diese werden in Form von Modellrechnungen untersucht. Es werden eine Vielzahl verschiedener Methoden aus diversen nicht unbedingt verwandten Gebieten der Mathematik verwenden, um die Bewertung von amerikanischen MBS oder kündbare Hypothekendarlehen in Deutschland zu untersuchen. Dies sind zum Beispiel stochastische Analysis, stochastische Prozesse, Optimierung oder Numerik partieller Differentialgleichungen. Mittels Beispielrechnungen wurden die Abh?ngigkeiten der Berechnungsergebnisse von den einzelnen Modellparametern untersucht, und bei festgelegten Beispielparametern des Gesamtmodells die m?gliche Sch?tzung des Parametersets demonstriert. Dabei führt die Kalibrierung zum Teil zu Parametern, die von den Original-Werten abweichenden. Ein gegenüber den Originalwerten erh?hter Anteil rationaler Rückzahlungen bei gleichzeitig gesenktem Niveau an Transaktionskosten führt zu quasi identischen, numerisch aber bevorzugten, Rückzahlungsquoten.

Amplitudengleichungen für SPDEs vom Burgers-Typ – Ein numerischer Vergleich
Abgabe: 31.03.2011
Zusammenfassung: Diese Diplomarbeit untersucht mit numerischen Methoden experimentell die Approximation einer Variante der stochastischen Burgers-Gleichung durch Amplitudengleichungen. Das Ziel ist hierbei, die analytischen Resultate durch Simulationen zu untersuchen, um m?gliche Verbesserungen zu sehen. Der Haupteil der Arbeit enth?lt eine Vielzahl von numerischen Auswertungen. Unter anderem werden die Güte der Approximation quantitativ überprüft, wobei die Fehler auf unerwartet langen Zeitskalen klein bleiben, und das Stabilisierungsverhalten von degeneriertem Rauschen wird qualitativ und quantitativ untersucht. Amplitudengleichungen sind ein Hilfsmittel um stochastische partielle Differentialgleichungen in der N?he eines Stabilit?tswechsels durch einfachere Modellgleichungen zu approximieren. Diese beschreiben die Amplitude dominierender Moden bzw. Muster, die ihre Stabilit?t ?ndern. Die verwendeten Algorithmen wurden in MATLAB implementiert, und setzen das spektrale Galerkin-Verfahren und die semi-implizite Zeitdiskretisierung um, wobei die Kombination von diskreter Sinus-Transformation und Cosinus-Transformation nicht unproblematisch ist, da nicht dieselben Stützstellen verwendet werden.

Teilchendynamik in zuf?lligen Str?mungsfeldern.
Abgabe: 10.09.2010
Literaturvorlage: White Noise Limits for Inertial Particles in a Random Field., SIAM J. MMS 1(4), 527--553, (2003).
Zusammenfassung: Diese Arbeit untersucht das Verhalten von Teilchen in einer turbulenten Flüssigkeit. Im zugrunde liegenden Modell wird das Geschwindigkeitsfeld der Flüssigkeit durch eine lineare stochastische partielle Differentialgleichung beschrieben, deren L?sung ein unendlich dimensionaler Ornstein-Uhlenbeck Prozess ist, und ein Gau?sches Feld beschreibt. Ziel der Arbeit ist es, in einer geeigneten Skalierung, rigoros ein effektives Modell für die Teilchendynamik herzuleiten, wenn das umgebende Str?mungsfeld sich sehr schnell ver?ndert. In heuristischen Untersuchungen des Skalierungsgrenzwertes, der dem Grenzwert eines sehr schnellen Str?mungsfeldes entspricht, in dem die Zeitskalen der Str?mung und der Teilchen entkoppelt, werden verschiedene Umskalierungen diskutiert, und m?gliche Grenzwerte identifiziert. Die Hauptresultate der Arbeit sind in Kapitel der Existenzbeweis und die Eindeutigkeit für das Grenzwertmodell, das eine gew?hnliche Differentialgleichung ist, die durch unendlich dimensionales multiplikatives Rauschen gest?rt wird, und die

E?ektive Dynamik der Swift-Hohenberg-Gleichung
Abgabe: 16.08.2010
Zusammenfassung: Mit numerischen Methoden wird experimentell die Approximation der Swift-Hohenberg Gleichung durch Amplitudengleichungen untersucht. Ziel der Arbeit war es im Rahmen des DFG-Forschungsprojekts ''Mehrskalenanalyse stochastischer partieller Differentialgleichungen (SPDEs)“, sowohl die bereits vorhandenen als auch die angestrebten analytischen Resultate durch Simulationen zu untersuchen. Der Einfachheit halber wurde das Spektralgalerkinverfahren mit semi-impliziter Zeitdiskretisierung in MATLAB implementiert. Im Hauptteil der Arbeit wird zum einen die Güte der Approximation durch Amplitudengleichungen quantitativ überprüft, wobei sich überraschenderweise herausgestellt hat, dass die Approximationsfehler auf unerwartet langen Zeitskalen klein bleiben. Ein anderer Aspekt untersuchte qualitativ das Stabilisierungsverhalten von degeneriertem Rauschen. Ein weiterer Aspekt war die Auswirkung von Fehlertermen h?herer Ordnung, die man überraschenderweise nicht im Winkel der dominierenden Fouriermode sehen kann. Abschlie?end behandelt die Arbeit noch Modulationsgleichungen auf gro?en Gebieten, und untersucht dort auch die Qualit?t der Approximation.

Hedging im Heston Model
Abgabe: 30.03.2010
Literaturvorlage: A. Cerny, J. Kallsen. Mean-variance hedging and optimal investment in Heston's model with correlation. Math. Finance 18, No. 3, 473--492 (2008).
Zusammenfassung: Diese Arbeit diskutiert die Bewertung von Optionsscheinen, für Aktien, die durch das Heston-Modell beschrieben werden. Dieses Modell ist ein sogenanntes Modell der dritten Generation, in dem die Volatilit?t der Aktienkurse durch einen stochastischen Prozess beschrieben wird. Es wurde (1993) als eine m?gliche Verbesserung des Black-Scholes-Modells vorgeschlagen und ist als Thema der aktuellen Forschung in den letzten Jahren intensiv untersucht worden. Die vorliegende Arbeit beinhaltet eine ausführliche Zusammenfassung der ben?tigten Grundlagen, insbesondere der Theorie der Semimartingale und beschreibt das Konzept mit zul?ssigen Handelsstrategien, Optionsscheine mittels eines Hedgingportfolios bezüglich eines Varianzoptimalen Martingalma?es zu bewerten.

Stochastisch gest?rte Differentialgleichungen mit langsamen Mannigfaltigkeiten
Abgabe: 07.08.2009
Zusammenfassung: Die Arbeit studiert das Verhalten stochastisch gest?rter dynamischer Systeme, in denen es eine Trennung der Zeitskalen in langsame und schnelle Dynamik gibt. Für das deterministische System existieren dabei invariante Mannigfaltigkeiten, entlang denen sich eine L?sung nur sehr langsam bewegt, w?hrend die Mannigfaltigkeit selber stark absto?end bzw anziehend ist. Die interessante Fragestellung ist nun, wie es durch St?rungen m?glich ist, die N?he der Mannigfaltigkeit zu verlassen. Das Hauptresultat der Arbeit gibt für das stochastische System Schranken für die Verweildauer in der N?he stablier deterministischen langsamen Mannigfaltigkeit an. Die Arbeit wird abgerundet durch verschiedenste numerische Beispiele bis hin zu einfachen Klimamodellen und Canards, in denen die Qualit?t der theoretischen Aussagen überprüft werden.

Verzweigungsprozesse und Differentialgleichungen
Abgabe: 03.09.2009
Zusammenfassung: Die Arbeit studiert den Zusammenhang von Verzweigungsprozessen und nichtlinearen Differentialgleichungen. Es wird zum einen eine explizite Darstellung der L?sung durch Verzweigungsprozesse und der durch sie erzeugten B?ume studiert, und zum anderen die Verbesserung der Approximation durch geschicktes Stutzen der B?ume, welches auch durch numerische Monte-Carlo Simulationen anhand eines einfachen Beispiels illustriert wird.

A Multidimensional Heston Model and Applications
Abgabe: 16.06.2009
Zusammenfassung: Die Arbeit behandelt diverse Aspekte der Optionspreisbewertung im Heston Modell. Hierbei liegt ein besonderes Augenmerk auf der Kalibrierung des Modells und der Bewertung von Quanto-Optionen, bei denen eine Anlage in einer Fremdw?hrung erfolgt, und ein zugrundeliegendes W?hrungsrisiko mit berücksichtigt werden muss.. Das Heston Modell ist ein sogenanntes Modell der dritten Generation, in dem die Volatilit?t der Aktienkurse durch einen stochastischen Proze? beschrieben wird. Es wurde 1993 als eine m?gliche Verbesserung des klassischen Black-Scholes-Models vorgeschlagen.
Ein zentrales Problem ist die Kalibrierung der Modelle, also die Sch?tzung der verwendeten Parameter. Die vorgeschlagenen Sch?tzer werden in dieser Arbeit durch mathematische Resultate motiviert, und mittels numerischer Experimente überprüft.

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