Eine Ellipse wird fl?chig gefüllt. Die gro?e Halb?achse wird wieder?holt ver?klei?nert und die resul?tie?rende Ellipse -mit anderer Farbe- wieder gefüllt. Nach einigen derar?tigen Schrit?ten ist aus der gro?en Halb?achse die klei?nere gewor?den, und das Ver?fahren wird mit ver?tausch?ten Rollen der Halb?achsen wieder?holt. Die Kon?struk?tion ?hnelt inso?fern dem 'Asterisk'.

Mathematik: Ellipsengleichung.

Die Punkte eines regel?m??i?gen $ n $ -Ecks werden nach Art eines Penta?gramms zum Poly?gon ver?bun?den und mehr?fach unter ?nde?rung der Farbe und Dre?hung des Koor?di?na?ten?systems als Linie mit kon?stan?ter St?rke gezeich?net. Durch eine nach?tr?g?liche Deh?nung der X-Achse erscheint der ursprüng?liche Kreis als Ellipse.

Mathematik: Kreisgleichung.

Die Lissajous-Figur ist eine Ver?wandte des Krei?ses bzw. der Ellipse. W?hrend der Kreis mit Radius $ r $ die Dar?stel?lung $$ (x,y) = (r\cdot\cos(t),r\cdot\sin(t)) $$

hat und die Ellipse statt eines Radius $ r $ zwei i.a. ver?schie?dene 'Halb?achsen' $ a $ und $ b $ ver?wendet, l??t die Lissajous-Figur den Para?meter t in den trigo?no?me?tri?schen Funk?tio?nen Sinus und Cosinus ver?schie?den schnell laufen: $$ (x,y) = (a\cdot\cos(n_a\cdot t),b\cdot\sin(n_b\cdot t)) $$
Für das Bild wird eine (5,3)-Lissajous-Figur als Linie wieder?holt mit schwin?den?der Linien?st?rke und wech?seln?den Farben bei kon?stan?ten Halb?achsen ge?zeichnet.

Mathematik: Lissajous-Figur.

Zur Konstruktion eines Epizykels werden zwei Kreis-Kon?strukte mit?ein?ander über?lagert:
$$ (x,y) = (a\cdot\cos(n_a\cdot t)+b\cdot\cos(t_0+n_b\cdot t),a\cdot\sin(n_a\cdot t)+b\cdot\sin(t_0+n_b\cdot t)) $$
Dies war lange Zeit der theore?tische Ansatz zur Erkl??rung der von der Erde aus beob?ach?te?ten Plane?ten?be?we?gun?gen, bis diese Theo?rie auf?grund ver?bes?ser?ter Mes?sun?gen nicht mehr halt?bar blieb.

Mathematik: Even-Odd-Algo?rith?mus, Kreis?glei?chung und Vektor?rech?nung: Der Mittel?punkt des Epi?zykels bewegt sich auf einer Kreis?bahn. Der jeweils aktu?elle Epi?zykel-Punkt mu? zum aktu?ellen Punkt dieses Kreises addiert werden.